1 als differenz zweier primpotenzen

Prime-factorization Fermat, Pollard-rho, Elliptic-Curve, Man bekommt so ganz systematisch alle möglichen Zerlegungen. Die entsprechende Frage bezüglich des Produkts lässt sich dagegen nicht so allgemein entscheiden. Wichtige Grundbausteine der Kryptographie sind Funktionen, die leicht berechnet, aber schwer invertiert werden können. In der Kryptologie nutzten Public-Key Verfahren solche Funktionen zur Verschlüsselung. Faktorisierungsprobleme z. Ein weiteres hartes Problem ist die Berechnung von diskreten Logarithmen das vom ElGamal-Krytosystem genützt wird. Das Fehlen von effizienten Algorithmen zur Primfaktorzerlegung einer ganzen Zahl macht eine Faktorisierung in kurzer Zeit unmöglich. Für relativ kleine Zahlen ist eine Zerlegung mit der Probedivision möglich. Bisher bekannte Faktorisierungsverfahren haben zwar ein deutlich besseres Zeitverhalten als die Faktorisierung mit der Probedivision, doch für die Zerlegung von in der Kryptologie verwendenten Zahlen mit über Dezimalstellen würden diese Verfahren Jahre brauchen.

1 als Differenz zweier Primzahlen

Das ist für einen Beweis natürlich nicht notwendig, kann dir aber vielleicht helfen, ihn besser zu verstehen. Wir betrachten die positiven ganzen Zahlen kleiner n , die zu n teilerfremd sind. Im Beispiel erhalten wir die Zahlen 5, 25, 35 und Modulo 12 entspricht das den Resten 5, 1, 11 und 7. Das sind doch genau die gleichen! Genau diese Feststellung wollen wir jetzt beweisen. Zunächst einmal sind die erhaltenen Zahlen wieder teilerfremd zu n. Hier geht ein, dass a zu n teilerfremd ist. Das Produkt hat dann immer noch keinen gemeinsamen Teiler. Wir hatten alle zu n teilerfremden Zahlen kleiner als n betrachtet, also alle möglichen teilerfremden Reste. Dann müssen sie nämlich auch alle abdecken. In dem Beispiel beweisen wir also nun, dass die erhaltenen Reste 5, 1, 11 und 7 tatsächlich verschieden sein müssen, weil dann auch alle Reste vorkommen müssen. Nehmen wir also mal das Gegenteil an. Also waren sie nicht verschieden, ein Widerspruch. Damit sind tatsächlich alle Reste verschieden. Wenn wir die Produkte von allen vergleichen, müssen diese also auch gleich sein.

1 als Differenz von Primzahlpotenzen

Genau genommen gibt es, zusammen mit den beiden unten genannten Ergänzungssätzen, ein Verfahren an, um zu entscheiden, ob eine Zahl quadratischer Rest oder Nichtrest einer Primzahl ist. Um die genaue Aussage des quadratische Reziprozitätsgesetzes zu verstehen, sind lediglich die Konzepte der Quadratzahlen, der Primzahlen und der Teilbarkeit ganzer Zahlen mit Rest vonnöten. Im Zentrum steht die folgende Fragestellung:. Das quadratische Reziprozitätsgesetz formuliert eine einfache Regel, die die Lösbarkeit der zwei Aufgaben, die durch Vertauschen der Rollen beider Primzahlen entstehen, miteinander in Beziehung setzt. Es unterscheidet:. Das quadratische Reziprozitätsgesetz ist aus mathematischer Sicht unter anderem von Interesse, da es kausale Zusammenhänge zwischen scheinbar völlig verschiedenen Fragestellungen aufbaut. Das führt dazu, dass die Lösung einer mitunter sehr schweren Aufgabe auf das Lösen einer leichten Aufgabe zurückgeführt werden kann, weshalb es für konkrete Berechnungen von Nutzen ist. Zahlreiche Anwendungen findet es in der Zahlentheorie , der Theorie diophantischer Gleichungen , aber auch in praktischen Gebieten wie der Kryptographie.

Untersuchung von 1 als Differenz zweier Primpotenzen

Wenn allerdings ein Verschlüsselungsverfahren wie RSA eine zusammengesetzte Zahl statt einer Primzahl verwendet, ist die Verschlüsselung nicht mehr sicher. Deshalb müssen bei solchen Verfahren bessere Primzahltests verwendet werden. Zusammen mit dem binomischen Satz folgt daraus. Giuseppe Giuga vermutete, dass auch die umgekehrte Schlussrichtung gilt, dass also eine Zahl mit dieser Eigenschaft stets prim ist. Es ist nicht geklärt, ob diese Vermutung richtig ist. Bekannt ist aber, dass ein Gegenbeispiel mehr als Im Zusammenhang mit Giugas Vermutung werden die Giuga-Zahlen untersucht. Dabei ist. Die Reihe der Kehrwerte der Primzahlen ist divergent. Somit gilt:. Dies ist zunächst einmal verblüffend, da die Primzahllücken im Schnitt immer weiter zunehmen. Der Satz von Mertens trifft eine Aussage über das genaue Wachstumsverhalten dieser divergenten Reihe. Ob eine beliebige natürliche Zahl prim ist, kann mit einem Primzahltest herausgefunden werden. Es gibt mehrere solcher Verfahren, die sich auf besondere Eigenschaften von Primzahlen stützen.